Ableitung √x mit Infinitesimalen und h-Methode
Bestimme die Ableitungsfunktion $f’$ von $f(x)=\sqrt{x}$.
# Infinitesimale
$$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x$$
Verändern wir $x$ und $\sqrt{x}$ infinitesimal, so ergibt sich:
$$ \begin{align*} \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}\sqrt{x} \right) \cdot \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}\sqrt{x} \right) &= x+\mathrm{d}x\\ \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}f \right) \cdot \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}f \right) &= x+\mathrm{d}x\\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x}~\mathrm{d}f + \sqrt{x}~\mathrm{d}f + \mathrm{d}f \cdot \mathrm{d}f &= x+\mathrm{d}x\\ x + 2 \sqrt{x} ~ \mathrm{d}f + \left( \mathrm{d}f \right)^{2} &= x+\mathrm{d}x\\ 2 \sqrt{x} ~ \mathrm{d}f &= \mathrm{d}x \end{align*} $$
$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
# h-Methode
$$ \begin{align*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ &=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\\ &=\frac{\left( \sqrt{x+h} \right)^{2} - \left( \sqrt{x} \right)^{2}}{h \cdot \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)}\\ &=\frac{x+h-x}{h \cdot \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \end{align*} $$
Für $h \to 0$ gilt:
$$f’(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$