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Ableitung √x mit Infinitesimalen und h-Methode

Zuletzt aktualisiert Jul 4, 2023 Quelldatei anzeigen

Bestimme die Ableitungsfunktion f′f’ von f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

# Infinitesimale

x⋅x=x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x

Verändern wir xx und x\sqrt{x} infinitesimal, so ergibt sich:

(x+dx)⋅(x+dx)=x+dx(x+df)⋅(x+df)=x+dxx⋅x+x df+x df+df⋅df=x+dxx+2x df+(df)2=x+dx2x df=dx \begin{align*} \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}\sqrt{x} \right) \cdot \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}\sqrt{x} \right) &= x+\mathrm{d}x\\ \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}f \right) \cdot \left( \sqrt{x}+\mathrm{d}f \right) &= x+\mathrm{d}x\\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x}~\mathrm{d}f + \sqrt{x}~\mathrm{d}f + \mathrm{d}f \cdot \mathrm{d}f &= x+\mathrm{d}x\\ x + 2 \sqrt{x} ~ \mathrm{d}f + \left( \mathrm{d}f \right)^{2} &= x+\mathrm{d}x\\ 2 \sqrt{x} ~ \mathrm{d}f &= \mathrm{d}x \end{align*}

dfdx=12x\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

# h-Methode

f(x+h)−f(x)h=x+h−xh=x+h−xh⋅x+h+xx+h+x=(x+h)2−(x)2h⋅(x+h+x)=x+h−xh⋅(x+h+x)=1x+h+x \begin{align*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ &=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\\ &=\frac{\left( \sqrt{x+h} \right)^{2} - \left( \sqrt{x} \right)^{2}}{h \cdot \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)}\\ &=\frac{x+h-x}{h \cdot \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \end{align*}

Für h→0h \to 0 gilt:

f′(x)=1x+x=12xf’(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

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