Ebenengleichung bestimmen

Zuletzt aktualisiert Jan 23, 2025 Quelldatei anzeigen

• Die folgenden Beispiele beziehen sich auf den Vektorraum $\mathbb{R}^{3}$.
• Im Folgenden bezeichnet $S_{g}$ den Stützvektor der Geraden $g$ und $\vec{r}_{g}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$.
• Geraden- und Ebenengleichungen sind in ihrer Darstellung nicht eindeutig. Man könnte jeweils auch eine andere Gleichung bestimmen, indem man z. B. einen anderen Stützvektor als den im Beispiel verwendeten wählt.

Die grundsätzlichen Schritte zum Bestimmen einer Ebenengleichung sind stets dieselben:

Schritt 1: Gegenseitige Lage der gegebenen Objekte bestimmen

Schritt 2: Spannvektoren bestimmen
Schritt 2b (nur bei Koordinaten- und Normalenform): Normalenvektor bestimmen

Schritt 3: Geradengleichung aufstellen

Fall ①: Die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden

$\quad A(3|-2|0),~B(1|-1|2),~C(2|1|2)$

Fall ②: Die Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden

$\quad A(1|2|-1),~B(2|3|-4),~C(-1|0|5)$

Überprüfen, ob die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Fall ①: Die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden

$$\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix},~\vec{AC}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

Auf Kollinearität prüfen:

$$k \cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

$$ \begin{aligned} -2k &= -1 & \Rightarrow & \quad k = \frac{1}{2} \\\ \Rightarrow \qquad\quad k &= 3 & \Rightarrow & \quad k = 3 \\\ 2k &= 2 & \Rightarrow & \quad k = 1 \end{aligned} $$ $$\tag*{$\text{Widerspruch!}$}$$

$\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ sind nicht kollinear. Die Punkte $A$, $B$ & $C$ liegen damit nicht auf einer gemeinsamen Gerade. $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ können also als Spannvektoren verwendet werden.

Fall ②: Die Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden

$$\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix},~\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\6\end{pmatrix}$$

Auf Kollinearität prüfen:

$$k \cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\6\end{pmatrix}$$

$$ \begin{aligned} k &= -2 \\\ \Rightarrow \qquad\quad k &= -2 \\\ k &= -2 \\ \end{aligned} $$

$\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ sind kollinear. Die Punkte $A$, $B$ & $C$ liegen damit auf einer gemeinsamen Gerade. Somit können mit ihnen keine Spannvektoren bestimmt werden.

Fall ①: Die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden

Nach Schritt 1 können $\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix},~\vec{AC}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$ als Spannvektoren verwendet werden.

Fall ①: Die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden

$$\begin{aligned} \vec{n} &= \vec{AB} \times \vec{AC} \\\ &= \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\\\\\ &= \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Fall ①: Die Punkte liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden

Parameterform: $$E: X = A + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}$$ $$\Rightarrow E: X=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

Normalenform: $$E: \vec{n} \cdot \left( X - A\right) = 0$$ $$\Rightarrow E: \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \left[X - \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\right] = 0$$

Koordinatenform: $$E: n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} = \vec{n} \cdot A$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$

Hessesche Normalform: $$E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} = 16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16 = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{4^{2} + (-2)^{2} + 5^{2}}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{45}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$

Fall ①: Punkt liegt nicht auf Gerade

$\quad B(1|-1|2),~~g: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$

Fall ②: Punkt liegt auf Gerade

$\quad B(2|1|2),~~g: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$

Überprüfen, ob der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ liegt.

Fall ①: Punkt liegt nicht auf Gerade

$$\overrightarrow{S_{g}B} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$$ $$\vec{r}_{g} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

Auf Kollinearität prüfen:

$$k \cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

$$ \begin{aligned} -2k &= -1 & \Rightarrow & \quad k = \frac{1}{2} \\\ \Rightarrow \qquad\quad k &= 3 & \Rightarrow & \quad k = 3 \\\ 2k &= 2 & \Rightarrow & \quad k = 1 \end{aligned} $$ $$\tag*{$\text{Widerspruch!}$}$$

$\overrightarrow{S_{g}B}$ und $\vec{r}_{g}$ sind nicht kollinear. Also können beide als Spannvektoren verwendet werden. An dieser Stelle wäre auch eine Punktprobe möglich gewesen, allerdings haben wir auf diese Weise bereits zwei Spannvektoren bestimmt.

Fall ②: Punkt liegt auf Gerade

$$\overrightarrow{S_{g}B} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$ $$\vec{r}_{g} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

$\overrightarrow{S_{g}B}$ und $\vec{r}_{g}$ sind offensichtlich kollinear und damit liegt Punkt $B$ auf der Geraden $g$. Also können aus diesem Punkt und dieser Geraden keine Spannvektoren bestimmt werden. An dieser Stelle wäre auch eine Punktprobe möglich gewesen.

Fall ①: Punkt $B$ liegt nicht auf Gerade $g$

Laut Schritt 1 können $\overrightarrow{S_{g}B}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix},~\vec{r}_{g}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$ als Spannvektoren verwendet werden.

Fall ①: Punkt liegt nicht auf Gerade

$$\begin{aligned} \vec{n} &= \overrightarrow{S_{g}B} \times \vec{r}_{g}\\\ &= \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\\\\\ &= \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Fall ①: Punkt liegt nicht auf Gerade

Parameterform: $$E: X = B + s \cdot \overrightarrow{S_{g}B} + t \cdot \vec{r}_{g}$$ $$\Rightarrow E: X=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$$

Normalenform: $$E: \vec{n} \cdot \left( X - B\right) = 0$$ $$\Rightarrow E: \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \left[X - \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\right] = 0$$

Koordinatenform: $$E: n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} = \vec{n} \cdot B$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$

Hessesche Normalform: $$E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} = 16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16 = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{4^{2} + (-2)^{2} + 5^{2}}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{45}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$

Fall ①: Geraden parallel

$\quad g: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix},~~h: X = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} + q \cdot \begin{pmatrix}-2\\6\\4\end{pmatrix}$

Fall ②: Geraden schneiden sich

$\quad g: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix},~~h: X = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} + q \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$

Fall ③: Geraden identisch

$\quad g: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix},~~h: X = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} + q \cdot \begin{pmatrix}-2\\6\\4\end{pmatrix}$

Fall ④: Geraden windschief

$\quad g: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix},~~h: X = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} + q \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$

Gegenseitige Lage der beiden jeweiligen Geraden bestimmen.

Fall ①: Geraden parallel

Die Lage der Geraden $g$ & $h$ wird wie gewohnt bestimmt.

Sind $g$ & $h$ parallel, so kann eine eindeutige Ebenengleichung bestimmt werden.

Fall ②: Geraden schneiden sich

Die Lage der Geraden $g$ & $h$ wird wie gewohnt bestimmt.

Schneiden sich $g$ & $h$, so kann eine eindeutige Ebenengleichung bestimmt werden.

Fall ③: Geraden identisch

Die Lage der Geraden $g$ & $h$ wird wie gewohnt bestimmt.

Sind $g$ & $h$ identisch, so kann keine eindeutige Ebenengleichung bestimmt werden.

Fall ④: Geraden windschief

Die Lage der Geraden $g$ & $h$ wird wie gewohnt bestimmt.

Sind $g$ & $h$ windschief, so liegen sie nicht auf einer gemeinsamen Geraden und es kann keine Ebenengleichung bestimmt werden.

Fall ①: Geraden parallel

Da $g$ & $h$ parallel sind, können die Richtungsvektoren $\vec{r}_{g}$ & $\vec{r}_{h}$ nicht als Spannvektoren verwendet werden, da diese kollinear sind. Als zweiten Spannvektoren können wir allerdings einen Vektor nehmen, der von einem Punkt der Geraden $g$ zu einem Punkt der Geraden $h$ führt. Als Spannvektoren können wir z. B. $\vec{r}_{g} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$ & $\overrightarrow{S_{g}S_{h}} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ auswählen.

Fall ②: Geraden schneiden sich

Da sich $g$ & $h$ schneiden, kann ein Stützvektor einer Geraden z. B. $S_{g} = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}$ als Stützvektor der Ebene gewählt werden und die beiden Richtungsvektoren $\vec{r}_{g} = \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$ & $\vec{r}_{h} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ als Spannvektoren.

Fall ①: Geraden parallel

$$\begin{aligned} \vec{n} &= \vec{r}_{g} \times \overrightarrow{S_{g}S_{h}}\\\\\ &= \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\\\\\ &= \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Fall ②: Geraden schneiden sich

$$\begin{aligned} \vec{n} &= \vec{r}_{g} \times \vec{r}_{h}\\\\\ &= \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\\\\\ &= \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Fall ①: Geraden parallel

Parameterform: $$E: X = S_{g} + s \cdot \vec{r}_{g} + t \cdot \overrightarrow{S_{g}S_{h}}$$ $$\Rightarrow E: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$$

Normalenform: $$E: \vec{n} \cdot \left( X - S_{g}\right) = 0$$ $$\Rightarrow E: \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \left[X - \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\right] = 0$$

Koordinatenform: $$E: n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} = \vec{n} \cdot S_{g}$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$

Hessesche Normalform: $$E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} = 16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16 = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{4^{2} + (-2)^{2} + 5^{2}}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{45}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$

Fall ②: Geraden schneiden sich

Parameterform: $$E: X = S_{g} + s \cdot \vec{r}_{g} + t \cdot \vec{r}_{h}$$ $$\Rightarrow E: X = \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$$

Normalenform: $$E: \vec{n} \cdot \left( X - S_{g}\right) = 0$$ $$\Rightarrow E: \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \left[X - \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\right] = 0$$

Koordinatenform: $$E: n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} = \vec{n} \cdot S_{g}$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = \begin{pmatrix}-4\\2\\-5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$

Hessesche Normalform: $$E: -4x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} = -16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} = 16$$ $$\Rightarrow E: 4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16 = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{4^{2} + (-2)^{2} + 5^{2}}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$ $$\Rightarrow E: \frac{1}{\sqrt{45}} \cdot (4x_{1} - 2x_{2} + 5x_{3} - 16) = 0$$

Bestimmen Sie (falls möglich) jeweils die Ebenengleichungen in Parameterform, Normalenform, Koordinatenform und Hesseschen Normalform für die Ebene $E$, für die Folgendes gilt:

a) $E \text{ enthält } A(1|1|-2),~B(-2|1|0) \text{ und } C(0|1|2)$

b) $E \text{ enthält } A(1|-1|-4) \text{ und } g:X = \begin{pmatrix}12\\4\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}$

c) $E \text{ enthält } g:X = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} \text{ und } h:X = t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

d) $E \text{ enthält } g:X = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} \text{ und } h:X = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

e) $E \text{ enthält } A(1|-1|4) \text{ und steht senkrecht auf } g:X = \begin{pmatrix}12\\4\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}$

f) $E \text{ enthält } A(1|0|-3) \text{ und hat den Normalenvektor } \vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$

Lösungen

a) Normalenform: $$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \cdot \left[ X - \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} \right]=0$$ Koordinatenform: $$x_{2}=1$$

b) Normalenform: $$\begin{pmatrix}-4\\8\\1\end{pmatrix} \cdot \left[ X - \begin{pmatrix}12\\4\\0\end{pmatrix} \right]=0$$ Koordinatenform: $$-4x_{1}+8x_{2}+x_{3}=-16$$

c) Normalenform: $$\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix} \cdot \left[ X - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \right]=0$$ $$\Rightarrow \begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix} \cdot X = 0$$ Koordinatenform: $$x_{1}-x_{2}-x_{3}=0$$

d) $g$ & $h$ sind identisch, es gibt keine eindeutige Lösung.

e) Normalenform: $$\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix} \cdot \left[ X - \begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix} \right]=0$$ Koordinatenform: $$x_{1}+x_{2}-4x_{3}=-16$$

f) Normalenform: $$\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix} \cdot \left[ X - \begin{pmatrix}1\\0\\-3\end{pmatrix} \right]=0$$ Koordinatenform: $$2x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=-7$$

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