Falsche Aussagen Analysis zum Finden von Gegenbeispielen
Folgende Aussagen über ganzrationale Funktionen sind falsch.
Finde jeweils ein Gegenbeispiel, das dies zeigt.
# Aussage 1
Wenn $f’$ zwei Nullstellen hat, muss $f$ auch mindestens eine Nullstelle haben.
Gegenbeispiel
$f(x)=x^{4}-x^{3}+1$
$f’(x)=x^{2} \cdot (4x-3)$
Damit $f$ keine Nullstellen hat, muss $f$ eine gerade Funktion sein. $f’$ ist deshalb ungerade und muss mindestens Grad 3 haben.
Damit $f’$ zwei Nullstellen hat, muss mindestens eine Nullstelle eine doppelte Nullstelle sein, z. B. $x^{2} \cdot (4x-3)$. $f$ wird nun soweit nach oben verschoben, bis sie keine Nullstellen mehr hat.
# Aussage 2
Wenn $f’’$ bei $x_{0}$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ bei $x_{0}$ eine Wendestelle.
Gegenbeispiel
$f(x)=x^{4}$
$f’’(x)=12x^{2}$
Da $f’’$ an der Stelle $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat und deshalb dort kein Vorzeichenwechsel stattfindet, ändert $f$ an dieser Stelle auch nicht die Krümmung. Es liegt dort also keine Wendestelle vor.
# Aussage 3
$f$ hat immer mehr Nullstellen als $f’$.
Gegenbeispiel
$f(x)=x^{2}+1$
$f’(x)=2x$