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Falsche Aussagen Analysis zum Finden von Gegenbeispielen

Zuletzt aktualisiert Oct 7, 2023 Quelldatei anzeigen

Folgende Aussagen über ganzrationale Funktionen sind falsch.

Finde jeweils ein Gegenbeispiel, das dies zeigt.

# Aussage 1

Wenn $f’$ zwei Nullstellen hat, muss $f$ auch mindestens eine Nullstelle haben.

Gegenbeispiel

$f(x)=x^{4}-x^{3}+1$

$f’(x)=x^{2} \cdot (4x-3)$

Damit $f$ keine Nullstellen hat, muss $f$ eine gerade Funktion sein. $f’$ ist deshalb ungerade und muss mindestens Grad 3 haben.

Damit $f’$ zwei Nullstellen hat, muss mindestens eine Nullstelle eine doppelte Nullstelle sein, z. B. $x^{2} \cdot (4x-3)$. $f$ wird nun soweit nach oben verschoben, bis sie keine Nullstellen mehr hat.

# Aussage 2

Wenn $f’’$ bei $x_{0}$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ bei $x_{0}$ eine Wendestelle.

Gegenbeispiel

$f(x)=x^{4}$

$f’’(x)=12x^{2}$

Da $f’’$ an der Stelle $x=0$ eine doppelte Nullstelle hat und deshalb dort kein Vorzeichenwechsel stattfindet, ändert $f$ an dieser Stelle auch nicht die Krümmung. Es liegt dort also keine Wendestelle vor.

# Aussage 3

$f$ hat immer mehr Nullstellen als $f’$.

Gegenbeispiel

$f(x)=x^{2}+1$

$f’(x)=2x$