Funktionsscharen als 3D-Funktionen
# Funktionen mit mehreren Variablen
Eine Funktion $f(x)$ mit einer Variablen $x$ kann man als 1-dimensionale Kurve in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem visualisieren.
Eine Funktion $f(a,x)$ mit zwei Variablen $a$ & $x$ kann man als 2-dimensionale Fläche in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem visualisieren.
# Parabelschar in 2D
Interpretieren wir die Variable $a$ als Parameter, so erhalten wir eine Funktionsschar $f_{a}(x)$. Der Parameter ist dabei veränderlich jedoch für jede einzelne konkrete Funktion fest. Für jedes gewählte $a$ erhalten wir also eine eindeutige 1-dimensionale Kurve im 2-dimensionalen Koordinatensystem.
Grafisch lässt sich dies durch dynamische Geometrieprogramme wie Geogebra visualisieren. Verschiebt man den Schieberegler für den Parameter $a$, so verändert sich auch der Graph, z. B. wie unten bei der Funktionsschar $$f_{a}(x)=a \cdot x^{2}.$$
Quelle: https://www.geogebra.org/m/rqwkaejb
# Parabelfläche
Interpretieren wir die Variable $a$ stattdessen als Variable, so erhalten wir eine Fläche $f(a,x)$ im Dreidimensionalen. Visualisieren wir unsere Parabelfläche $$f(a,x)=a \cdot x^{2}$$ und tragen dabei die Werte für $a$ auf der roten Achse, die Werte für $x$ auf der grünen und die Funktionswerte $f(a,x)$ auf der blauen Achse ab, so erhalten wir die folgende Fläche.
Quelle: https://www.geogebra.org/m/cg3wb4jt
# Funktionsschar als Querschnitt der Parabelfläche
Die obige Fläche zeigt auf einen Blick das Verhalten unserer Parabelschar für alle $a$-Werte. Die Parabeln im Zweidimensionalen entdecken wir in dieser Fläche wieder, wenn wir diese mit einer zur $a$-Achse senkrecht stehenden Ebene schneiden.
Quelle: https://www.geogebra.org/m/emakbryz
Ähnlich wie in einem MRI-Scan geben uns also die Parabelscharen Schicht für Schicht einen Einblick, wie die Fläche $f(a,x)$ im dreidimensionalen Raum aussieht.
Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:User-FastFission-brain.gif
