Grenzwert und Stetigkeit
Der Grenzwert einer Funktion $f(x)$, wenn sich $x$ der Stelle $x_{0}$ nähert sowie die Stetigkeit an der Stelle $x_{0}$ sind zwei Seiten ein und derselben Sache. Beide drücken aus, dass sich der Funktionswert $f(x)$ von einem festen Wert beliebig wenig unterscheiden, wenn sich $x$ nur nahe genug bei $x_{0}$ befindet.
# Grenzwert
Im ersten Fall ist dieser feste Wert eben der Grenzwert. Der Funktionswert $f(x_{0})$ spielt dabei keine Rolle, ja die Funktion $f(x)$ muss an der Stelle $x_{0}$ nicht einmal definiert sein. Wenn die Funktion $f$ gegen einen Grenzwert $a$ für $x\to x_{0}$ konvergiert, so gilt:
$$\lim_{x\to x_{0}} f(x)=a$$
# Stetigkeit
Bei der Stetigkeit ist dieser feste Wert der Funktionswert $f(x_{0})$. Die Funktion $f$ ist also an der Stelle $x_{0}$ stetig, wenn gilt:
$$\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$$
Quelle: Wolfgang Walter - Analysis I (Springer Verlag)