Multiplikation ganzer Zahlen
# Negative Zahlen
Negative Zahlen wurden über Jahrhunderte hinweg von den besten Mathematikern seiner Zeit als suspekt betrachtet. Welchen Sinn soll etwas haben, das weniger als nichts ist?
Die Kraft der Mathematik ist es jedoch, nichtsdestotrotz diese unglaublichen Dinge zu erdenken und zu schauen, wohin uns der Weg führt. Wenn wir einfach hinnehmen, dass es negative Zahlen gibt und dass man mit ihnen rechnen kann, erweitern wir so unseren Zahlenraum und damit auch unseren Horizont.
# Rechenregeln in $\mathbb{N}$
Dabei müssen wir natürlich aufpassen, dass wir auf diesem Weg nicht das, was wir schon haben, zerstören. So sollten auch in den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ unsere liebgewonnenen Rechenregeln der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ weiterhin gelten.
Assoziativgesetz: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Kommutativgesetz: $a \cdot b = b \cdot a$
Distributivgesetz: $a \cdot (b+c) = ab + ac$
# Multiplikation in $\mathbb{Z}$
Im Folgenden werden die Rechenregeln der Multiplikation durch Beispiele illustriert. Die Beweise, dass diese Regeln für beliebige ganze Zahlen gelten, bleiben dem Leser überlassen 😉
Wichtig zu betonen ist, dass die folgenden Regeln menschengemachte Definitionen sind. Sie sind eine aktive Wahl und nicht von den Göttern diktiert. Man könnte die Multiplikation in $\mathbb{Z}$ auch anders definieren, aber dann würden unsere bekannten Rechenregeln aus $\mathbb{N}$ nicht mehr gelten; und das wäre ziemlich unpraktisch.
# Plus mal Minus
Offensichtlich gilt: $$3+(-3)=0$$ Also ist z. B. auch das Doppelte gleich 0: $$2 \cdot \left(3 + (-3)\right)=0$$ Da unser Distributivgesetz weiterhin gelten soll, muss auch gelten: $$\begin{aligned} 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-3)&=0\\\ \Rightarrow \qquad 6 + 2 \cdot (-3) &= 0 \end{aligned}$$
Damit diese Gleichung aufgeht, muss $2 \cdot (-3) = -6$ sein.
Plus mal Minus ist Minus
# Minus mal Plus
Da auch das Kommutativgesetz weiter gelten soll, muss auch $(-3) \cdot 2 = -6$ gelten.
Minus mal Plus ist Minus
# Minus mal Minus
Offensichtlich gilt: $$3+(-3)=0$$ Wenn wir die linke Seite mit einer Zahl multiplizieren, bleibt die rechte Seite natürlich gleich 0: $$(-2) \cdot \left(3 + (-3)\right)=0$$ Da unser Distributivgesetz weiterhin gelten soll, muss auch gelten: $$\begin{aligned} (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-3) &=0\\\ \Rightarrow \qquad\qquad -6 + (-2) \cdot (-3) &= 0 \end{aligned}$$
Damit diese Gleichung aufgeht, muss $(-2) \cdot (-3) = 6$ sein.
Was ist eigentlich mit dem Assoziativgesetz…?