Bruch zwischen zwei gegebenen Brüchen finden
# Satz
Man findet immer einen Bruch zwischen zwei gegebenen Brüchen, indem man jeweils die beiden Zähler bzw. Nenner getrennt voneinander addiert:
$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$$
# Beweis
Linke Seite: $$\begin{aligned} &\quad \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\\\ &\\\ &\Rightarrow ad<bc\\\ &\\\ &\Rightarrow ab+ad<ab+bc\\\ &\\\ &\Rightarrow a(b+d)<b(a+c)\\\ &\\\ &\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d} \end{aligned}$$
Rechte Seite analog.