Beweis $\pi=4$
# “Beweis” $\pi=4$
Folgendes Meme zeigt die fehlerhafte aber überzeugend wirkende Argumentation, dass $\pi=4$:
Quelle:
https://old.reddit.com/r/askmath/comments/l9gavt/so_i_saw_this_meme_earlier_and_i_was_genuinely/
Dieses Geogebra-Applet ermöglicht einen interaktiven Zugang zum Beweis.
# Lösung & Erkenntnisse
Der Grenzwert einer Folge muss nicht dieselben Eigenschaften haben, wie die Folge an sich. Um sicherzugehen, dass ein Grenzwert wirklich das misst, was gesucht ist, muss man auf den Fehler der Folgenglieder schauen. Dieser sollte im Grenzwertprozess verschwinden. Nur so kann sichergestellt werden, dass auch wirklich das Gesuchte gemessen wird. Deshalb benötigen wir die Unter- & die Obersumme. Nur so können wir sicher sein, dass die tatsächliche Fläche wirklich angenähert wird.
- “Vorsicht im Unendlichen”
Nur weil sich ein Objekt einem anderen immer mehr annähert, heißt das nicht, dass beide dieselben Eigenschaften haben müssen.
- “Sandwich-Satz”
Sei $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ für alle $x$. Wenn $f(x)$ & $h(x)$ denselben Grenzwert haben, dann hat auch $g(x)$ diesen Grenzwert
# Weitere Quellen
Video 3Blue1Brown: https://yewtu.be/watch?v=VYQVlVoWoPY&t=909
Video Mathologer: https://yewtu.be/watch?v=yAEveAH2KwI
Video von Simple Math Boys: https://www.yewtu.be/watch?v=6Qnfd5dRyf4
Gleiches Paradoxon bei Looking Glass Universe: https://yewtu.be/watch?v=wD4FLB0Sp54
$\pi=4$ Video von GoldPlatedGoof: https://www.yewtu.be/watch?v=Rv0c7R8brjE
$\pi=4$ Video von BriTheMathGuy: https://www.yewtu.be/watch?v=lCOlS_qn8RQ
MathStackExchange: https://math.stackexchange.com/questions/12906/the-staircase-paradox-or-why-pi-ne4
Reddit: https://old.reddit.com/r/askmath/comments/l9gavt/so_i_saw_this_meme_earlier_and_i_was_genuinely/