Satz von Monsky - Teilung eines Quadrats in eine ungerade Zahl von Dreiecken
# Satz von Monsky
Ein Quadrat lässt sich nicht in eine ungerade Anzahl an Dreiecken mit gleichem Flächeninhalt zerlegen.
# Vollständiger Beweis
- Anschauliche Version des Beweises: Aigner - Das Buch der Beweise Kap. 20 Ein Quadrat und viele Dreiecke
- Originalbeweis von Monsky: Monsky - On Dividing a Square Into Triangles
- Präsentation zum Beweis: Schmitt - Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche
# Skizzierung Beweisidee
- Mithilfe der 2-adischen Metrik $|\cdot|_{2}$ wird das Einheitsquadrat auf eine ganz spezielle Weise mit 3 Farben eingefärbt.
- Die 2-adische Metrik wird jedoch nicht auf $\mathbb{Q}_{2}$ angewendet, sondern auf das Einheitsquadrat $[0;1]^2\subset \mathbb{R}^2$.
- Erklärung, wie $|\cdot|_{2}$ auf $\mathbb{R}$ übertragen werden kann auf Math Stackexchange, im Aigner - Das Buch der Beweise, S. 156 ff. und bei Schmitt.
- Mithilfe eines Arguments ähnlich Sperners Lemma wird gezeigt, dass bei jeder Zerlegung des Einheitsquadrats in beliebige (nicht einmal notwendigerweise gleich große) Dreiecke, immer mindestens ein Dreieck mit drei verschiedenfarbigen Eckpunkten (“Regenbogendreieck”) entsteht.1
- Mithilfe der Determinante wird gezeigt, dass ein “Regenbogendreieck” bei ungeradem $n$ weder den Flächeninhalt $0$ noch den Flächeninhalt $\frac{1}{n}$ haben kann.
- Jede Zerlegung, die ein “Regenbogendreieck” beinhaltet, kann also keine gewünschte Zerlegung darstellen, da diese Zerlegung aus $n$ Dreiecken mit einem Flächeninhalt von je $\frac{1}{n}$ bestehen muss.
# Video
YouTube-Video von Jim Fowler über den Satz und dessen Beweis
In der Veranschaulichung von Aigner (siehe oben) werden Punkt 2 & 3 in umgekehrter Reihenfolge behandelt. ↩︎