Skript Leistungskurs Exponentialfunktionen
Definition Exponentialfunktion
Eine Funktion $f(x)$ ist eine Exponentialfunktion, wenn sie folgende Form erfüllt:
$$f(x)=c \cdot a^{x},$$
mit $c$, $a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $a\neq 1$.
$c$ wird auch Startwert genannt und $a$ die Zuwachsrate oder Wachstumsfaktor.
Satz 1
Es sei $f(x)=a^{x}$ mit $a>0$ eine beliebige Exponentialfunktion, dann gilt:
$$f’(x)=f(x) \cdot f’(0)$$
Beweis Satz 1
Sei $f(x)=a^x$ mit $a>0$.
Für eine beliebige Stelle $x_{0}$ gilt allgemein:
$$f’(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$$
Mit der gegebenen Exponentialfunktion ergibt sich:
$$= \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_{0}+h}-a^{x_{0}}}{h}$$
Nach Potenzgesetzen gilt:
$$= \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_{0}} \cdot a^{h}-a^{x_{0}}}{h}$$
Ausklammern liefert:
$$= \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_{0}} \cdot \left(a^{h}-1\right)}{h}$$
Da $a^{x_{0}}$ unabhängig von $h$ ist, gilt:
$$= a^{x_{0}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$$
Dieser Grenzwert ist genau der Differentialquotient an der Stelle $0$. Dies ist leichter zu sehen, wenn wir den Quotienten leicht umschreiben:
$$\begin{aligned} &= a^{x_{0}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h}-a^{0}}{h}\\\\ &= a^{x_{0}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\\\ &=a^{x_{0}} \cdot f’(0) \end{aligned}$$
$$\tag*{$\square$}$$
Definition Eulersche Zahl $e$
Die Eulersche Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl mit dem Wert
$$e=2,71828182845\ldots$$
Stellt $e$ die Basis einer Exponentialfunktion dar, so nennt man die Funktion $f(x)=e^{x}$ auch die natürliche Exponentialfunktion oder einfach $e$-Funktion. Für diese gilt $f’(x)=e^{x}$, da für die Zahl $e$ genau gilt, dass $f’(0)=1$.
Ein bekannter Grenzwert für die Eulersche Zahl ist:
$$e=\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$$
Definition Logarithmus
Die Lösung der Exponentialgleichung
$$a^{x}=b, \qquad \text{mit } a,b>0$$
wird bezeichnet als Logarithmus $\log_{a}(b)$ bezeichnet. Gesprochen: “Logarithmus zur Basis $a$ von $b$”.
Definition Natürlicher Logarithmus
Den Logarithmus zur Basis $e$ nennt man den natürlichen Logarithmus (logarithmus naturalis). Man schreibt statt $\log_{e}(x)$ schlicht:
$$\ln(x)$$
Satz 2
Es sei $f(x)=e^{k \cdot x}$ mit $k \neq 0$. Dann gilt:
$$f’(x)=k \cdot e^{k \cdot x}$$
Beweis Satz 2
Sei $g(x)=e^{x}$ die gewöhnliche $e$-Funktion und $f(x)=e^{k \cdot x}$ unsere gegebene Exponentialfunktion. Wir stellen fest, dass die Funktion $f(x)$ eine Streckung der $e$-Funktion $g(x)$ in $x$-Richtung um den Faktor $\frac{1}{k}$.
Per Definition wissen wir, dass $g’(0)=1$, das heißt, dass das Steigungsdreieck an der Tangente bei $x_{0}=0$ eine Steigung von $1$ hat.
Für $g(x)=e^{x}$ gilt also:
$$g’(0)= m_{g} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1$$
Bei der Streckung in $x$-Richtung wird auch das Steigungsdreieck um denselben Faktor $\frac{1}{k}$ gestreckt. Für das Steigungsdreieck von $f(x)$ gilt also:
$$\begin{aligned} f’(0) = m_{f} &= \frac{\Delta y}{\frac{1}{k} \cdot \Delta x}\\\\ &= \frac{k \cdot \Delta y}{\Delta x}\\\\ &= k \cdot \frac{\Delta y}{\Delta x}\\\\ &= k \cdot g’(0)\\ &= k \cdot 1\\ &= k \end{aligned}$$
Nach Satz 1 gilt:
$$\begin{aligned} f’(x) &= f(x) \cdot f’(0)\\ &= e^{k \cdot x} \cdot k \end{aligned}$$ $$\tag*{$\square$}$$
Satz 2.2
Es sei $f(x)=e^{kx}$ mit $k \neq 0$. Dann gilt:
$$F(x)=\frac{1}{k} \cdot e^{kx}+c, \quad \text{mit } c\in\mathbb{R}$$
Beweis
Nach Faktorregel und Satz 2 gilt:
$$\begin{aligned} F’(x)&=\frac{1}{k} \cdot k \cdot e^{kx}\\\\ &=e^{kx} \end{aligned}$$ $$\tag*{$\square$}$$
Satz 3
Es sei $f(x)=a^{x}$ mit $a>0$ eine beliebige Exponentialfunktion. Dann gilt:
$$f’(x)=\ln(a) \cdot a^{x}$$
Beweis Satz 3
Es sei $f(x)=a^{x}$ mit $a>0$ eine beliebige Exponentialfunktion. Nach der Definition des (natürlichen) Logarithmus gilt:
$$f(x)=a^{x}=e^{\ln(a) \cdot x}$$
Nach Satz 2 gilt:
$$f’(x)=\ln(a) \cdot e^{\ln(a) \cdot x}$$
Nach Definition des (natürlichen) Logarithmus gilt schließlich:
$$f’(x) = \ln(a) \cdot a^{x}$$ $$\tag*{$\square$}$$
Satz 3.2
Es sei $f(x)=a^{x}$ mit $a>0$ eine beliebige Exponentialfunktion. Dann gilt:
$$F(x)=\frac{1}{\ln(a)} \cdot a^{x}+c, \quad \text{mit } c\in\mathbb{R}$$
Beweis
Nach Faktorregel und Satz 3 gilt:
$$\begin{aligned} F’(x)&=\frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(a) \cdot a^{x}\\\\ &=a^{x} \end{aligned}$$ $$\tag*{$\square$}$$