Unterrichtsstunde Erwartungswert & Zufallsvariable
# Warm-Up
- Vorentlastung: Berechnung des arithmetischen Mittels
| Klassenspiegel | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| abs. Häufigkeit $H$ | 3 | 8 | 7 | 5 | 2 | 0 |
| rel. Häufigkeit $h$ | $\frac{3}{25}$ | $\frac{8}{25}$ | $\frac{7}{25}$ | $\frac{5}{25}$ | $\frac{2}{25}$ | $\frac{0}{25}$ |
$$\bar{x} = \frac{3}{25} \cdot 1 + \frac{8}{25} \cdot 2 + \frac{7}{25} \cdot 3 + \frac{5}{25} \cdot 4 + \frac{2}{25} \cdot 5 + \frac{0}{25} \cdot 6 = 2,8$$
# Beschreibung & Durchführung Glücksspiel
- Folgendes Glücksspiel wird vorgestellt
- Der Spieler bekommt zu Beginn $20$ Spielchips
- Ein Spiel kostet $2$ Spielechips
- Der Spieler dreht das Rad und erhält den angezeigten Betrag ausgezahlt
- Der Spieler spielt mindestens $10$-mal
- Erwartungen für das Spiel werden festgehalten
- Spiel wird mit einem Schüler vor der Klasse gespielt
Quelle: https://www.geogebra.org/m/s22d7ssf
# Ergebnismenge & Zufallsvariable
- Schüler sollen Ergebnismenge für das einmalige Drehen des Glücksrads aufschreiben
- Viele Schüler werden die folgende Ergebnismenge aufschreiben:
$\Omega = \{ 0~€, 1~€, 2~€, 6~€ \}$ - Folgende Ergebnismenge wird an die Tafel geschrieben:
$\Omega = \{ -2~€, -1~€, 0~€, 4~€ \}$ - Beide Ergebnismengen sind richtig, beziehen sich allerdings auf unterschiedliche Zufallsvariablen
# Definition Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist eine Größe, die vom Zufall abhängt.
Je nach Wahl der Zufallsvariable verändert sich auch die zugehörige Ergebnismenge.
Die Ergebnismenge besteht dabei immer aus reellen Zahlen. Das bedeutet, dass z. B. die Farbe keine Zufallsvariable sein kann.
# Bestimmung am Beispiel Glücksrad
Aus obigem Glücksspiel kann man z. B. folgende zwei Zufallsvariablen betrachten:
- $X = \text{Auszahlung}$
- $Y = \text{Gewinn}$
Diesen lassen sich folgende Ergebnismengen zuordnen:
- $\Omega_{X} = \{ 0~€, 1~€, 2~€, 6~€ \}$
- $\Omega_{Y} = \{ -2~€, -1~€, 0~€, 4~€ \}$
# Erwartungswert
# Definition Erwartungswert
Der Erwartungswert ist eine Schätzung des arithmetischen Mittels bei hinreichend großer Versuchsanzahl.
Er gibt an, welcher Wert im Durchschnitt zu erwarten ist.
Je nach Wahl der Zufallsvariable verändert sich auch der zugehörige Erwartungswert.
# Berechnung am Beispiel Glücksrad
| Glücksrad | ||||
|---|---|---|---|---|
| $X$=Auszahlung | $0~€$ | $1~€$ | $2~€$ | $6~€$ |
| $Y$=Gewinn | $-2~€$ | $-1~€$ | $0~€$ | $4~€$ |
| Wahrscheinlichkeit $p$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
Berechnung Erwartungswerte: $$\mu_{X} = \frac{1}{2} \cdot 0~€ + \frac{1}{4} \cdot 1~€ + \frac{1}{8} \cdot 2~€ + \frac{1}{8} \cdot 6~€ = 1,25~€$$
- Es ist demnach eine Auszahlung von durchschnittlich $1,25~€$ pro Spiel zu erwarten.
$$\mu_{Y} = \frac{1}{2} \cdot \left( -2~€ \right) + \frac{1}{4} \cdot \left( -1~€ \right) + \frac{1}{8} \cdot 0~€ + \frac{1}{8} \cdot 4~€ = -0,75~€$$
- Es ist demnach ein Gewinn von durchschnittlich $-0,75~€$ pro Spiel zu erwarten. Man verliert also auf lange Sicht jede Runde $0,75~€$.
# Faire Spiele
# Definition faires Spiel
Ein Spiel wird als fair bezeichnet, wenn der zu erwartende Gewinn genau $0$ beträgt. Es gilt also:
$$\text{Das Spiel ist fair.} \quad \Leftrightarrow \quad \mu_{\text{Gewinn}}=0$$
# Aufgabe
Wie muss die Zahl auf dem roten Feld des Glücksrads verändert werden, damit das Glücksspiel fair ist?
# Gegenüberstellung Grundbegriffe Stochastik
| Empirische Daten (“Experiment wurde durchgeführt”) | Schätzungen für große Versuchsanzahlen (“Experiment wurde (noch) nicht durchgeführt”) |
|---|---|
| relative Häufigkeit $h$ | Wahrscheinlichkeit $p$ |
| arithmetisches Mittel $\bar{x}$ | Erwartungswert $\mu$ |
# Weiterführendes Projekt
Ein weiterführendes Projekt, das viel Raum zum Erforschen und Experimentieren ermöglicht, bietet die Cereal Box-Aufgabe.