Zahlenbereichserweiterungen
# Tabelle
| Zahlenbereichserweiterung auf … | Was geht verloren? |
|---|---|
| Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$ | |
| Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ | Der Anfang geht verloren. |
| Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ | Die Nachfolgereigenschaft geht verloren. Man kann nicht mehr sinnvoll von der vorigen bzw. nächsten Zahl sprechen. |
| Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ | Die Abzählbarkeit geht verloren. |
| Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ | Die Anordnung geht verloren. Man kann nicht mehr sinnvoll von einer kleineren bzw. größeren Zahl sprechen. |
| Quaternionen $\mathbb{H}$ | Die Kommutativität geht verloren. Es gilt also nicht mehr $a \cdot b = b \cdot a$. |
| Oktaven oder Oktonionen $\mathbb{O}$ | Die Assoziativität geht verloren. Es gilt also nicht mehr $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. |
Quelle: Aus dem Kapitel Einführung Wurzel (Intervallschachtelung) des Buches Mathematik als Abenteuer Band 2
Video zu Zahlenbereichserweiterungen: Irrationale Zahlen | Mathewelten | ARTE
# Weitere Zahlenbereiche
Die Zahlenbereichserweiterung von $\mathbb{Q}$ zu $\mathbb{R}$ kann über sogenannte Cauchy-Folgen erfolgen.
Hierbei wird auf den gewöhnlichen Betrag zurückgegriffen. Nach dem Satz von Ostrowski gibt es jedoch noch eine andere nichttriviale (trivial ist Mathematikersprache für uninteressant) Möglichkeit für den Betrag. Dieser Weg führt dann von $\mathbb{Q}$ zu den p-adischen Zahlen $\mathbb{Q_{p}}$. Eine schöne Veranschaulichung des Satzes von Ostrowksi bietet dieses Video von SuperScript.